屋根裏の7年間

最終ステージだ。主人公はアンドリュー・ワイルズ。1953年にイギリスのケンブリッジで生まれた。10歳のとき、町の図書館で、フェルマーの最終定理について書かれた本を見つけたんだ。10歳の自分にも意味が分かる問題なのに、300年以上誰も解けていない。彼はそのとき、いつか自分が解くと決めたという。

大学で数学者になる訓練を受けるうちに、彼はいったんフェルマーの問題から離れた。プロの数学者には、手がかりのない問題に人生をかけるのは危険すぎたからだ。かわりに研究したのが楕円曲線だった。のちにアメリカのプリンストン大学の教授になる。そして1986年の夏、リベットの定理の知らせを聞く。前のステージで見た、「半安定な楕円曲線の谷山–志村予想を証明すれば、フェルマーの最終定理が従う」という結果だ。

ワイルズは、ほかの仕事を整理して、この問題だけに取り組むことにした。しかも、誰にも言わずにね。注目されると落ち着いて考えられないし、途中の成果を小出しにすると、他人に先を越されるかもしれない。自宅の屋根裏の書斎で、妻のほかには誰にも明かさず、7年間考え続けた。

作戦の中心は、STAGE8 で使った「指紋を mod p でぼかして見る」考え方だ。楕円曲線がモジュラーだと示すには、すべての素数 ℓ で a_ℓ がモジュラー形式の係数と一致することを示したい。ワイルズは、まず mod 3 で見た一致から出発した。じつは、どんな楕円曲線でも、a_ℓ を mod 3 で見た指紋が、あるモジュラー形式の係数と一致することは、ラングランズとタネルの定理（1980年ごろ）ですでに分かっていたんだ。

そう。だから、mod 3 の一致を、mod 9 の一致、mod 27 の一致、mod 81 の一致……と、3 のべき乗で一段ずつ持ち上げていく。これがワイルズの作戦だった。すべての段で一致すると言えたら、本当の a_ℓ も一致する。なぜだか分かるかな？ STAGE6 のハッセの定理を思い出してごらん。

その通りだ。ℓ ごとに、十分大きな k まで一致を持ち上げれば、完全な一致になる。ワイルズの仕事の大部分は、この「持ち上げ」の階段を作ることに費やされた。くわしく言うと、「mod 3 の指紋を持ち上げる方法」を、楕円曲線の側と、モジュラー形式の側で、それぞれ全部数え上げて、2つの側で数がぴったり同じになることを示す、という形をとった。モジュラー形式の側の持ち上げは、どれも楕円曲線の側の持ち上げにもなっている。数が同じなら、楕円曲線の側の持ち上げは全部、モジュラー形式から来ていることになる。

1993年6月、ワイルズは生まれ故郷ケンブリッジのアイザック・ニュートン研究所で、3日続きの講演をした。題目は「モジュラー形式、楕円曲線、ガロア表現」。フェルマーの名前は出さなかった。けれど、話が進むにつれて、聞いている数学者たちには行き先が分かってきた。6月23日の最終日、黒板に半安定な楕円曲線の谷山–志村予想の証明を書き終え、最後にフェルマーの最終定理がその結果として従うことを示して、こう言って講演を終えた。「ここで終わりにしようと思います」。

世界中で大ニュースになった。ところが、話はそこで終わらなかった。200ページにおよぶ論文を、何人もの専門家が1行ずつ確かめていく。その途中で、ワイルズの友人でもある審査役のニック・カッツが、持ち上げの階段の一部に、穴があることに気づいたんだ。2つの側の数がぴったり同じだと示す議論の中の、ある道具の作り方がうまくいっていなかった。

そう。ワイルズは数か月かけて直そうとしたけれど、うまくいかない。1993年12月、彼は証明に問題があることを公表した。そして1994年の初め、かつての教え子で、ケンブリッジの若い数学者リチャード・テイラーを呼んで、2人で取り組んだ。それでも穴はふさがらなかった。1994年の夏が終わるころには、ワイルズはあきらめかけていたという。

1994年9月19日の朝、ワイルズは「なぜうまくいかないのか」だけでも確かめておこうと、もう一度机に向かった。そのとき、ひらめいたんだ。3年前に自分で試して捨てた古い方法（岩澤理論と呼ばれる道具）と、いま行き詰まっている方法は、片方だけではどちらも足りない。けれど、2つを組み合わせると、ちょうどお互いの足りないところを補い合う。穴は、それでふさがった。

1994年10月、2本の論文が提出された。ワイルズの「モジュラー楕円曲線とフェルマーの最終定理」と、テイラーとワイルズの共著で、修正の要の部分を担う論文だ。厳しい審査を経て、1995年5月、数学の専門誌『アナルズ・オブ・マセマティクス』に掲載された。フェルマーの書き込みから、358年後のことだ。さらに2001年には、ブルイユ、コンラッド、ダイアモンド、テイラーの4人が、半安定に限らずすべての楕円曲線について谷山–志村予想を証明した。いまではモジュラリティ定理と呼ばれている。

本当のところは誰にも分からない。けれど、フェルマーはその後の手紙で n＝3 と n＝4 の場合のことしか書いていない。だから、多くの数学者は、彼がのちに自分の証明の誤りに気づいたのではないか、と考えている。STAGE3 のラメのように、素因数分解がただ1通りだと思い込んだ証明だったのかもしれないね。

いいところに気づいたね。358年の間に、この問題は、クンマーの理想数を生み、楕円曲線とモジュラー形式の研究を育て、最後には2つの世界をつなぐ橋を完成させた。フェルマーの最終定理そのものより、その途中で生まれた数学のほうが、ずっと大きいとも言える。そして、その橋は今も、数学者たちが「ラングランズ・プログラム」と呼ぶ、もっと大きな地図の一部として広がり続けているんだ。きみが最初の日に見た短い式から、ここまで来たんだよ。