ありえない曲線

前のステージの最後に、フェルマーの最終定理と谷山–志村予想は、別の話だと思われていたと言ったね。その2つを結びつけたのが、ドイツの数学者ゲルハルト・フライだ。1984年、彼はこんなことを考えた。背理法で、フェルマーの式に解があると仮定する。p を 5 以上の素数として、aᵖ＋bᵖ＝cᵖ をみたす自然数 a, b, c があったとしよう（共通の約数はないとしておく）。この a, b を使って、楕円曲線を1本作るんだ。

c は隠れているんだ。この曲線が x 軸と交わる点を考えてごらん。y＝0 になる x は？

楕円曲線には、判別式と呼ばれる大事な数がある。x 軸との3つの交点 r₁, r₂, r₃ から、Δ＝16×(r₁−r₂)²(r₂−r₃)²(r₁−r₃)² で計算する数だ。2つの交点が重なると Δ＝0 になる。STAGE5 で、曲線が自分自身と交わったり、とがったりするものは楕円曲線に含めないと言ったね。あれは、ちょうど交点が重なる場合なんだ。そして、Δ を割り切る素数では、その素数で割った余りの世界で見ると、交点が重なってしまう。だから、悪い素数は Δ を割り切る素数の中から出てくる。では、フライ曲線の Δ を計算してごらん。

そう。判別式が、こんなにきれいな「何かの 2p 乗」になる楕円曲線は、普通は考えられない。判別式はふつう、いろいろな素数がばらばらの指数で混ざった数になるからね。フライは、この曲線は整いすぎていて、ありえないのではないか、もっと正確に言うと、この曲線はモジュラーではありえないのではないか、と考えたんだ。

そういう意味だ。ここで1つ思い出してほしい。谷山–志村予想が正しいなら、すべての楕円曲線はモジュラーだった。だから、もしフライの考えが正しくて、しかも谷山–志村予想も正しいなら……。

その通り。ただし、フライの「モジュラーではありえない」は、まだ予想にすぎなかった。それを証明するために、フランスのセールがより詳しい予想を立て、1986年、アメリカのケン・リベットがその必要な部分を証明した。リベットの定理の中身を、少しだけのぞいてみよう。鍵になるのは、STAGE6 で作った指紋を、mod p でぼかして見ることだ。

そう。素数を区別するために、曲線の指紋のほうは a_ℓ（ℓ は素数を表すもう1つの文字）と書こう。フライ曲線の悪い素数は、判別式 16(abc)²ᵖ を割り切る素数、つまり 2 と、a, b, c の素因数だ。導手は、それらを掛け合わせた数（2 のところだけ少し調整がいる）になる。もしフライ曲線がモジュラーなら、レベルがこの導手のモジュラー形式があって、q^ℓ の係数が a_ℓ に一致する。リベットが示したのは、こういうことだ。判別式の中で指数が p の倍数になっている悪い素数は、mod p でぼかした指紋には映らない。だから、mod p で見る限り、その素数をレベルから取り除いてよい。

そう。リベットの定理によると、フライ曲線がモジュラーなら、重さ2・レベル2 のモジュラー形式で、係数を mod p で見るとフライ曲線の a_ℓ と一致するものが存在しなければならない。ところが、重さ2・レベル2 のモジュラー形式は、1つも存在しない。これは昔から分かっていたことなんだ。STAGE7 で、レベル 11 では対称性が強すぎて F ただ1つしかなかったね。レベル 2 では、対称性の条件がさらにきつく効いて、条件をみたすのは 0 だけになってしまう。

そうなんだ。リベットの証明を聞いた多くの数学者は、「これでフェルマーの最終定理は、谷山–志村予想と同じくらい難しい問題になった。つまり、当分は解けない」と受け止めた。しかも、全部の楕円曲線について証明する必要はない。フライ曲線は半安定と呼ばれる種類で、悪い素数でのこわれ方がおだやか（とがらずに、自分と交わるだけ）だ。だから、半安定な楕円曲線について谷山–志村予想を示せば足りる。それでも、とてつもなく難しい問題であることに変わりはなかった。

1986年の夏、リベットの結果を聞いて、「これは自分の問題だ」と心を決めた人がいた。子どものころからフェルマーの最終定理に憧れていた、イギリス出身の数学者だ。次の最終ステージで、その人の7年間を追いかけよう。