📜 フェルマーの最終定理、証明への道
STAGE 7 ― もうひとつの数列 ―
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STAGE 7

もうひとつの数列

モジュラー形式と谷山–志村予想
🎯 ミッション
q(1−q)²(1−q¹¹)²(1−q²)²(1−q²²)²… を q⁵ まで展開し、q², q³, q⁵ の係数が STAGE6 の a₂, a₃, a₅ と一致することを確かめよう。モジュラー形式の対称性と、谷山–志村予想の主張を説明できれば合格。
未達成
ねこ博士
前のステージで、楕円曲線 y²＋y＝x³−x² から、aₚ という数の列を作ったね。今日は、楕円曲線のことはいったん忘れて、まったく別のものを計算する。q を文字として、こんな終わりのない掛け算を考えよう。
F＝q×(1−q)²(1−q¹¹)²×(1−q²)²(1−q²²)²×(1−q³)²(1−q³³)²×…
n＝1, 2, 3, … のそれぞれについて (1−qⁿ)²(1−q¹¹ⁿ)² を、どこまでも掛けていくものだ。
うさ美
終わりがないのに、展開できるんですか？ 掛け算をいつまでも続けることになります。
ねこ博士
知りたいのは、展開したときの q の何乗の係数か、だよ。たとえば q⁵ の係数だけが知りたいなら、(1−q⁶)² から先のかっこは、1 のほかに q⁶ 以上の項しかもたないから、q⁵ までの係数には関係しない。同じ理由で、(1−q¹¹)² なども q¹² 以上の係数にしか効かない。だから、有限回の計算で済むんだ。最初に q が1つ掛かっているから、q⁵ までを知るには、残りの掛け算を q⁴ まで計算すればいい。やってごらん。
うさ美
q⁴ までに効くのは (1−q)², (1−q²)², (1−q³)², (1−q⁴)² の4つです。q⁵ 以上の項は捨てながら、順に掛けていきます。
(1−q)²＝1−2q＋q² ×(1−q²)²＝×(1−2q²＋q⁴) → 1−2q−q²＋4q³−q⁴ ×(1−q³)²＝×(1−2q³＋…) → 1−2q−q²＋2q³＋3q⁴ ×(1−q⁴)²＝×(1−2q⁴＋…) → 1−2q−q²＋2q³＋q⁴ 最後に q を掛けて：F＝q−2q²−q³＋2q⁴＋q⁵＋…
ねこ博士
q の右肩の数が素数のところ、q², q³, q⁵ の係数を、前のステージの a₂, a₃, a₅ と比べてごらん。
うさ美
q² の係数は −2、q³ は −1、q⁵ は 1。a₂＝−2、a₃＝−1、a₅＝1 でした。……3つとも同じです！ でも、これは楕円曲線とは何の関係もない、ただの掛け算です。偶然ですか？
ねこ博士
偶然ではない。コンピュータで続きを計算すると、q⁷ の係数は −2、q¹¹ は 1、q¹³ は 4、q¹⁷ は −2、……と、どこまで行っても、素数 p について qp の係数が aₚ と一致する。片方は mod p で点を数えた結果、もう片方は掛け算の展開。まったく別の計算から、同じ数の列が出てくるんだ。
2つの数列を比べる。上の段は、掛け算 F を展開したときの qp の係数。下の段は、STAGE6 と同じく楕円曲線 y²＋y＝x³−x² の点を mod p で数えて求めた aₚ＝p−Nₚ。どちらもページの中でその場で計算している
うさ美
なぜ、この掛け算が楕円曲線の指紋を知っているんですか？ (1−q¹¹)² の 11 は、前のステージの導手の 11 と同じ数です。
ねこ博士
11 が出てくるのも偶然ではない。理由を話すには、F の正体を知る必要がある。F はモジュラー形式と呼ばれる種類の関数なんだ。ここまで q はただの文字だったけれど、q に複素数を入れてみよう。τ（タウ）を、虚部が正の複素数 τ＝x＋iy（y＞0）として、q＝e2πiτ とおく。
うさ美
eiθ は、『本当はおもしろい複素数の世界』で学びました。単位円の上を、1 から弧の長さ θ だけ進んだ点です。2πiτ＝2πi(x＋iy)＝2πix−2πy なので、指数法則で q＝e2πix×e−2πy。e2πix は、単位円を1周の x 倍だけ回った点で、e−2πy は 1 より小さい正の数。q は、長さが e−2πy で、角度が1周の x 倍の矢印です。
ねこ博士
よく覚えていたね。y＞0 だから、q の長さは 1 より小さい。だから qⁿ は n が大きくなるほど 0 に近づいて、終わりのない掛け算も、ちゃんと1つの複素数に落ち着く。こうして F は、τ を入れると複素数を返す関数 F(τ) になる。では、τ を τ＋1 に変えると、F(τ) はどうなるかな？
うさ美
x が 1 増えると、e2πix は1周ちょうど余計に回るだけなので、同じ点です。q が変わらないので、F(τ＋1)＝F(τ)。τ を 1 ずらしても値が変わりません。
ねこ博士
それは q を使って書いたことから自動的に出てくる、当たり前の対称性だ。モジュラー形式の本当にすごいところは、隠れた対称性をもつことなんだ。F の場合、τ を τ/(11τ＋1) に取りかえると、次の式が成り立つ。
F(τ/(11τ＋1))＝(11τ＋1)²×F(τ) 一般に、整数 a, b, c, d が ad−bc＝1 をみたし、c が 11 の倍数なら：
F((aτ＋b)/(cτ＋d))＝(cτ＋d)²×F(τ) 右肩の 2 を重さ、c が倍数でなければならない 11 をレベルという。F は「重さ2・レベル11」のモジュラー形式
うさ美
τ/(11τ＋1) は、τ＋1 のような単純なずらし方ではありません。複素数どうしの割り算です。それなのに、F の値が (11τ＋1)² 倍になるだけ、というのは……掛け算の式を見ても、そんな性質があるようには見えません。
ねこ博士
そう、見ただけでは分からない。けれど成り立っている。τ にいろいろな複素数を入れて、両辺を数値で計算すると、ぴったり一致する。そして、このような対称性をもつ関数はめったにない。重さ2・レベル11 で、q から始まる種類のものは、本質的に F ただ1つしかないことが分かっている。対称性があまりに強いので、係数が勝手に決まってしまうんだ。
F(τ) の色地図。横が τ の実部 x（−1/2〜1/2、ちょうど1周期ぶん。F(τ＋1)＝F(τ) なので左右にはこの模様がくり返す）、縦が虚部 y（0.003〜0.2）。各点の色は、F(τ) を矢印と見たときの向き（角度）を表し、明るさは |F(τ)| に y² を掛けた大きさを表す（隠れた対称性で写り合う2点では、この量が等しくなる）。実軸に近づくと、x＝0 の上に見える模様が、縮んだ形で無限にくり返し現れる。図をタップ（クリック）すると、その点の τ で F(τ/(11τ＋1)) と (11τ＋1)²F(τ) を計算して比べる
うさ美
楕円曲線の指紋が、こんなに対称性の強い関数の係数として出てくる……。ほかの楕円曲線でも、同じことが起きるんですか？
ねこ博士
それが、この旅でいちばん大事な予想だ。1955年、日本の若い数学者谷山豊が、東京と日光で開かれた国際会議で、この方向の問題を提出した。それを志村五郎が磨き上げ、のちにフランスのヴェイユも研究して、次の形にまとまった。
谷山–志村予想：有理数を係数とするどんな楕円曲線にも、重さ2のモジュラー形式があって、 そのレベルは楕円曲線の導手に等しく、qp の係数は（悪い素数を除いて）その楕円曲線の aₚ に等しい ひとことで：「すべての楕円曲線はモジュラーである」
うさ美
楕円曲線は「方程式の世界」で、モジュラー形式は「複素数の関数の世界」です。まったく別の世界のものが、全部1対1でつながっている、という主張ですか？
ねこ博士
そう。2つの世界の間に、すべての楕円曲線について橋がかかっている、という主張だ。たくさんの曲線で数値的には確かめられていって、多くの数学者が正しいと信じるようになった。けれど、証明の手がかりはまったくなかった。谷山は1958年、31歳で亡くなり、予想が解かれるのを見ることはなかった。
うさ美
すごい予想だということは分かりました。でも、これがフェルマーの最終定理と、どうつながるんですか？ xⁿ＋yⁿ＝zⁿ には、楕円曲線もモジュラー形式も出てきません。
ねこ博士
1980年代まで、ほとんどの数学者もそう思っていた。谷山–志村予想は数論の大問題、フェルマーの最終定理は昔からの難問で、2つは別の話だとね。その2つが、ある1本の楕円曲線によって結びつけられる。次のステージでは、そのありえない曲線を作ってみよう。
【このステージの成果】 F＝q(1−q)²(1−q¹¹)²(1−q²)²(1−q²²)²… を展開すると q−2q²−q³＋2q⁴＋q⁵＋… 素数 p について、qp の係数＝楕円曲線 y²＋y＝x³−x² の aₚ（どこまでも一致する） q＝e2πiτ（τ の虚部は正）とおくと F(τ) は関数になる。F(τ＋1)＝F(τ) 隠れた対称性 F(τ/(11τ＋1))＝(11τ＋1)²F(τ)：重さ2・レベル11 のモジュラー形式。レベル 11＝曲線の導手 11 谷山–志村予想（1955年〜）：すべての楕円曲線はモジュラー（aₚ がモジュラー形式の係数として現れ、レベル＝導手）

確認クイズ

Q1. 掛け算 F を展開したとき、q⁵ の係数を知るために必要なかっこは？

Q2. τ を τ＋1 に変えても F(τ) が変わらない理由は？

Q3. 谷山–志村予想の主張は？

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