曲線の指紋

STAGE4 の最後に、「式を素数 p ごとに mod p で見て、解の個数を数えると、その式の指紋ができる」と話したね。今日は、それを楕円曲線でやってみる。使うのは、この曲線だ。
y²＋y＝x³−x²

中身は同じ仲間なんだ。y＋1/2 を Y とおくと、Y²＝y²＋y＋1/4 だから、式は Y²＝x³−x²＋1/4 になる。x² の項も、x を少しずらせば消せる。ただ、そうすると分数が出てくるね。mod 2 で見たいときに 1/2 は困るから、はじめから y²＋y の形で書いておく習慣があるんだ。

そう。では始めよう。素数 p を1つ決めて、0〜p−1 の x と y の組 (x, y) のうち、y²＋y≡x³−x² (mod p) をみたすものを数える。その個数を Nₚ と書く。まず p＝5 で数えてごらん。

よくできたね。ここで、Nₚ がだいたいどのくらいになるか考えてみよう。x を1つ決めるごとに、y はおよそ何個見つかると期待できるかな？

そう。だから、実際の個数が目安の p からどれだけずれたかを、次のように測る。

ここからは計算をコンピュータに任せよう。97 までの素数について aₚ を計算すると、こうなる。

ずれが小さいことには理由がある。1933年にドイツのハッセが、どんな楕円曲線でも |aₚ|≦2√p、つまりずれは p の平方根の2倍を超えないことを証明した。p＝97 なら 2√97≒19.7 だから、aₚ は −19 から 19 の間に収まる。

ほとんどの素数ではそうだ。ただ、この曲線には特別な素数が1つある。11 だ。mod 11 で見ると、この曲線は自分自身と交わる点をもってしまう。STAGE5 で、そういう形は楕円曲線に含めないと言ったね。普通の数の世界ではきれいな楕円曲線なのに、mod 11 の世界でだけ形がこわれるんだ。こういう素数を、その曲線の悪い素数という。この曲線の悪い素数は 11 だけだ。悪い素数からは、導手（どうしゅ）と呼ばれる数が決まる。悪い素数の掛け算でできた数で、この曲線の導手は 11。導手は、次のステージで大事な役をする。

いい質問だね。じつは、aₚ の列には、その曲線の有理点がどれくらいたくさんあるかといった、深い情報まで詰まっていると考えられている。けれど、今日いちばん見てほしいのは別のことだ。この一見でたらめな列 −2, −1, 1, −2, 1, 4, −2, 0, … を、楕円曲線とはまったく関係のない世界から取り出す方法がある。次のステージで、その世界をのぞいてみよう。この表は、そこでもう一度使う。