点を足す曲線

ここから旅の後半だ。最初の主役は楕円曲線。a と b を整数として、y²＝x³＋ax＋b という式で表される曲線のことだ。名前に「楕円」とつくけれど、楕円（だ円）とは形がまったく違う。楕円の周の長さを計算する研究の中から生まれた式なので、この名前が残っているんだ。

a と b によって、ひとつながりの曲線になったり、卵のような輪と曲線の2つに分かれたりする。どれも x 軸を鏡にして上下対称だ。y² の式だから、(x, y) が曲線の上にあれば (x, −y) も曲線の上にある。動かして形を見てごらん。

STAGE1 と同じく、有理点（座標が両方とも分数で書ける点）を探すんだ。例として y²＝x³＋17 を使おう。x＝−2 なら x³＋17＝−8＋17＝9＝3² だから、(−2, 3) は有理点だ。ほかにも整数の点が見つかるかな？

STAGE1 では、円の上の有理点1つから直線を引いて、もう1つの有理点を作った。円は2次だから、直線との交点は2つだった。楕円曲線は3次だから、直線との交点は3つある。そこで今度は、2つの有理点を通る直線を引く。(−2, 3) と (−1, 4) を通る直線の式は？

この3次方程式の解が、3つの交点の x 座標だ。2つは −2 と −1 だと分かっている。ここで使える事実がある。x³ の係数が 1 の3次式が、x₁, x₂, x₃ を解にもつなら、(x−x₁)(x−x₂)(x−x₃) と因数分解できる。これを展開して、x² の係数を見てごらん。

この計算を一般の場合でやってみよう。曲線 y²＝x³＋ax＋b と、傾き m の直線 y＝mx＋c を連立すると、(mx＋c)²＝x³＋ax＋b。移項すると x³ の係数は 1、x² の係数は −m² になる。

そう。STAGE1 で「3次の曲線では残りの交点が2つあって、有理数とは限らない」と言ったね。2つの有理点から始めれば、残りは1つだけで、それは必ず有理数になる。数学者はこれを使って、曲線の上の点に足し算を決めた。

いい質問だね。折り返さない決め方だと、普通の足し算がもつ性質が崩れてしまうんだ。折り返して決めると、順番を入れ替えても同じ（P＋Q＝Q＋P）、どこから足しても同じ（(P＋Q)＋S＝P＋(Q＋S)）という、数の足し算と同じ規則が全部成り立つ。0 の役目をするのは、曲線のはるか上（無限の遠く）にあると考える特別な点 O だ。P とその折り返しを結ぶと縦の直線になって、3つ目の交点は無限の遠くの O になる。だから P と折り返しを足すと O、つまり 0 になる。折り返しは「−P」の役をしているんだ。

この曲線ではそうだね。足すたびに、分母と分子の桁はどんどん増えていく。そして 1922年、イギリスのモーデルが、どの楕円曲線でも有理点はすべて、有限個の点から、この足し算をくり返して作れることを証明した。有理点がまったく増えない曲線もある。たとえば、n＝3 のフェルマーの式 x³＋y³＝1 は、うまく変数を取りかえると楕円曲線 y²＝x³−432 に作り直せる。オイラーの n＝3 の証明は、この楕円曲線の有理点が、座標に0を含む自明なもの（に対応する点）しかないことを示したのと同じことなんだ。

n＝5 以上では、xⁿ＋yⁿ＝1 をそのまま楕円曲線に作り直すことはできない。けれど、まったく別の使い方がある。もし解があったら、それを材料にして1本の楕円曲線を組み立てるんだ。それは STAGE8 で話そう。その前に、楕円曲線にはもう1つの顔がある。STAGE4 で予告した指紋だ。次のステージでは、楕円曲線を mod p で見て、点を数える。