時計の算術

前のステージの最後に予告した時計の算術を始めよう。時計で 10時の5時間後は何時かな？

そう。時計は、数を「12 で割った余り」だけで見ている。これを一般にして、整数をある数 p で割った余りだけで計算することを、「mod p で計算する」という。mod は英語の modulo（〜を法として）の略だ。2つの整数 a と b を p で割った余りが等しいとき、a≡b (mod p) と書いて、「a と b は mod p で合同」と読む。15≡3 (mod 12) という具合だ。余りが等しいということは、差 a−b が p の倍数だということでもある。

差が p の倍数かどうかで考えればいい。−1−11＝−12 は 12 の倍数だから、−1≡11 (mod 12)。時計で言えば、0時の1時間前は 11時だね。mod p の世界には、0 から p−1 までの p 個の数しかないと考えて、どんな整数もそのどれかと合同になる。

なぜ合うのかも説明できるよ。17＝5×3＋2、23＝5×4＋3 と書いて、掛け算を展開してごらん。

その通り。足し算・引き算・掛け算は、途中で何度余りに直しても答えは変わらない。じつは、この道具はもう使っているんだ。

それを使うと、こんなことが言える。4 で割って 3 余る数は、2つの平方数の和にならない。理由は？

それが mod の力だ。式を mod p で見て、余りの世界で解がなければ、本物の整数の世界にも解はない。整数の解があれば、その余りが余りの世界の解になるはずだからね。では、フェルマーの式にも使ってみよう。n＝3、mod 7 で、まず 0〜6 の3乗を 7 で割った余りを全部求めてごらん。

x, y, z がどれも 7 の倍数でないとしたら、x³＋y³≡z³ (mod 7) は成り立つかな？

そう。ソフィー・ジェルマンが調べたのは、まさにこういう性質だった。mod で調べると、解の性質がいろいろ分かる。では、mod をうまく選べば「解は1つもない」まで言えるかというと、そうはいかない。xⁿ＋yⁿ≡zⁿ (mod p) には、どんな p でも必ず解があるんだ。たとえば n が奇数なら、1ⁿ＋(−1)ⁿ＝0ⁿ は普通の整数の式としてちゃんと成り立つ。

そういうことだ。さらに、1916年にシューアという数学者が、p が十分大きければ x, y, z のどれも p の倍数でない解まで必ずあることを示した。mod 7 では「どれかは 7 の倍数」と言えたけれど、大きな p では、それすら言えなくなる。たとえば n＝3、p＝19 なら、どれも 19 の倍数でない解が 324 組もある。たとえば 1³＋4³＝65＝19×3＋8、2³＝8 だから、1³＋4³≡2³ (mod 19) だ。

使い方を変えるんだ。「解があるかないか」を調べるのではなく、ある式を、素数 p ごとに mod p で見て、解が何個あるかを数える。p＝2, 3, 5, 7, 11, … と数えていくと、式ごとに数の列ができる。この列が、その式の指紋のような役割を果たす。後半で主役になるのは、この指紋なんだ。

mod p で p が素数だと、余りの世界でも割り算ができる。たとえば mod 7 では 3×5＝15≡1 だから、「1÷3」の答えは 5 だと考えられる。0 以外のどの数にも、掛けると 1 になる相手がいるんだ。mod 12 だと、2 に何を掛けても偶数で、1 にはならない。p が素数のとき、0〜p−1 の p 個の数だけで、普通の数と同じように四則計算ができる小さな世界になる。次のステージでは、いよいよ後半の主役の1つ、楕円曲線が登場する。