こわれた素因数分解

前のステージで、残る課題は指数が奇数の素数 p の場合だけになった。18〜19世紀の数学者は、これを1つずつ片づけていった。1770年ごろにオイラーが n＝3 を、1825年にディリクレとルジャンドルが n＝5 を、1839年にラメが n＝7 を証明した。フランスのソフィー・ジェルマンは、x, y, z がどれも p で割り切れないという特別な場合を、たくさんの素数についてまとめて片づけた。

そこで 1847年3月、ラメがパリの科学アカデミーで「すべての素数 p について証明できた」と発表した。決め手は、きみが学んだ複素数だ。p を素数として、長さが1で、角度が 360°/p の複素数を ζ（ゼータ）と書く。この数を p 回掛けるとどうなるかな？

そう。ζ², ζ³, … も、p 乗すると角度が 360° の整数倍になるから、やはり 1 になる。1, ζ, ζ², …, ζ^p−1 の p 個の数は、単位円の上に、正 p 角形の頂点として等間隔に並ぶ。これらを 1 の p 乗根と呼ぶ。そして、次の因数分解が成り立つ。

p＝3 の ζ は、よく ω（オメガ）と書く。座標で言うと ω＝−1/2＋(√3/2)i、ω² は角度 240° の点で ω²＝−1/2−(√3/2)i だ。

これで x³＋y³＝z³ は (x＋y)(x＋ωy)(x＋ω²y)＝z³ と、掛け算＝3乗の形に書ける。ラメの作戦は、STAGE2 の道具をここで使うことだった。「互いに素な数の積が平方数なら、それぞれ平方数」の3乗版、つまり「互いに素な数の積が p 乗の数なら、それぞれ p 乗の数」を使って、各かっこが p 乗の数だと言い、そこから矛盾を導くというものだ。

まさにその点を、同じ日の会場でリウヴィルという数学者が指摘した。ラメの証明は、新しい数の世界でも素因数分解がただ1通りに決まることを、確かめずに使っていたんだ。そして数か月後、ドイツのクンマーから知らせが届く。「その性質は成り立たない。p＝23 のとき、分解の仕方が1通りに決まらない例を、私は3年前に見つけている」。ラメの証明はここで崩れた。

p＝23 の例は大きすぎるから、もっと小さな例で見よう。a と b を整数として、a＋b√−5 の形の数だけを考える世界だ。√−5 は 2乗すると −5 になる数で、√5 i のこと。この世界で 6 を分解してごらん。普通に 6＝2×3 だけれど、(1＋√−5) と (1−√−5) を掛けると？

いいところに気づいたね。だから、2 も 3 も 1±√−5 も、この世界でこれ以上分けられないことを確かめる必要がある。そのための道具がノルムだ。a＋b√−5 のノルムを、N(a＋b√−5)＝a²＋5b² と決める。複素数 a＋√5 b i を矢印と見たときの、長さの2乗だよ。

そう。これで「分けられるか」を、普通の整数の問題に直せる。2 を2つの数 z, w の積に分けたとしよう。ただし、どちらも ±1 ではないとする（±1 を掛けるのは分けたうちに入らない）。ノルムで考えると？

同じことを 3 と 1＋√−5 でもやってごらん。

クンマーは逆に、この世界を修理した。分けられないはずの数を、さらに細かく分ける「理想数」という見えない部品を考え出して、その部品のレベルでは分解がまたただ1通りになるようにしたんだ。たとえば 6 の場合、2, 3, 1±√−5 はどれも理想数の2個の積になっていて、2通りに見えた分解は、同じ4つの部品の組み合わせ方の違いにすぎない。この修理のおかげで、クンマーは正則素数と呼ばれる種類の素数すべてについて、フェルマーの最終定理を証明した。100 より小さい素数では、37, 59, 67 を除くすべてが正則素数だ。

無限にあることが分かっている。だからクンマーの方法でも、全部の素数を片づけることはできなかった。その後、正則でない素数を1つずつ処理する工夫が重ねられ、コンピュータの助けを借りて、1993年には 400万 までのすべての素数で確かめられた。それでも、無限の残りには手が届かない。

けれど、無駄にはならなかった。クンマーの理想数は、のちに「イデアル」と名前を変えて、代数的整数論という大きな分野の土台になった。最終的な証明は、まったく別の方向からやってくる。その方向へ進むために、次のステージでは、数を「割った余り」だけで計算する時計の算術を学ぼう。後半の旅は、すべてこの言葉で書かれているんだ。