どこまでも小さくなる解

右辺が z⁴ ではなく z² なんですね。……もし x⁴＋y⁴＝z⁴ に解があったら、z⁴＝(z²)² だから、w＝z² とおくと x⁴＋y⁴＝w² の解になります。だから「x⁴＋y⁴＝z² に解がない」が言えれば、「x⁴＋y⁴＝z⁴ にも解がない」も言える、ということですか？

わざと逆を仮定するんですね。2つ目は何ですか？

解が1つあれば、もっと小さい解ができて、その解からさらに小さい解ができて……どこまでも続きます。z は自然数なので、z₁＞z₂＞z₃＞… と小さくなり続けても、1 より下には行けません。自然数が無限に小さくなり続けることはできないので、矛盾です。だから最初の「解がある」がまちがっていた、ということですか？

後半は STAGE1 の公式で、t＝m/n を約分した分数にしておくということですね。前半の「どちらか一方だけが偶数」はなぜですか？ 両方偶数なら 2 が共通の約数になるので、互いに素ではありません。でも、両方奇数の場合は……？

(2k＋1)²＝4k²＋4k＋1 なので、4 で割ると 1 余ります。両方奇数なら a²＋b² は 4 で割って 2 余る数です。一方、a²＋b² は偶数なので c も偶数で、c＝2j なら c²＝4j² は 4 で割り切れます。4 で割って 2 余る数と、4 で割り切れる数が等しいはずはないので、両方奇数にはなれません。

k² は k×k だから、k の素因数分解を2回並べたものになります。たとえば 12²＝(2×2×3)×(2×2×3) で、2 が4個、3 が2個。どの素数も偶数個ずつ現れます。

p×q は平方数なので、素因数分解すると、どの素数も偶数個ずつです。p と q は互いに素なので、共通の素数をもちません。だから、ある素数は p か q のどちらか一方にしか入っていなくて、その素数の偶数個は全部その片方に入っています。すると p も q も、どの素数も偶数個ずつの数になるので、どちらも平方数です。3つの数でも、どの2つも互いに素なら同じことが言えます。

3辺が x², y², z の直角三角形です。x² と y² も互いに素なので、さっきの公式が使えます。どちらか一方だけが偶数なので、y² のほうを偶数とすると、
x²＝n²−m²、y²＝2mn、z＝n²＋m²
と書けます（m, n は互いに素で、片方が偶数）。

x²＋m²＝n²。……また直角三角形です！ 3辺が x, m, n の。

y² が偶数で x と y は互いに素なので、x は奇数です。x²＋m²＝n² で、x と m のどちらか一方だけが偶数なので、m が偶数です。公式から、互いに素な r, s を使って
x＝s²−r²、m＝2rs、n＝s²＋r²
と書けます。

y²＝2×2rs×(r²＋s²)＝4rs(r²＋s²) です。y² が 4 の倍数なので、y は偶数。両辺を 4 で割ると (y/2)²＝r × s × (r²＋s²)。左辺は平方数です。

互いに素な3つの数を掛けて平方数になったので、3つともそれぞれ平方数です。r＝u²、s＝v²、r²＋s²＝w² と書けます。r²＋s²＝w² に入れると、(u²)²＋(v²)²＝w²、つまり
u⁴＋v⁴＝w²。
最初と同じ形の式の、新しい解 (u, v, w) が出てきました！

w は自然数なので w≦w² です。w²＝r²＋s²＝n で、n≦n²＜n²＋m²＝z。だから w＜z。新しい解は、元の解より必ず小さくなります。これで「解が1つあれば、もっと小さい解が作れる」が言えたので、無限降下法で、x⁴＋y⁴＝z² に自然数の解はありません。

n＝4 が言えたら、n＝8 もすぐです。x⁸＝(x²)⁴ だから、もし x⁸＋y⁸＝z⁸ に解があったら、(x², y², z²) が n＝4 の解になってしまいます。n＝12 も n＝400 も、4 の倍数なら全部同じです。

3 以上の数は、2 を何回か掛けた数なら 4, 8, 16, … で 4 の倍数ですし、そうでなければ奇数の素因数をもちます。ということは、残っているのは n が奇数の素数（3, 5, 7, 11, …）の場合だけ、ということですか？