余白の書き込み

今日から新しい旅を始めよう。テーマはフェルマーの最終定理だ。17世紀のフランスに、ピエール・ド・フェルマーという人がいた。本業は裁判所の役人で、数学は仕事の合間の趣味だったけれど、その趣味で歴史に残る発見をいくつもした。1637年ごろ、彼は古代ギリシャの数学者ディオファントスが書いた『算術』という本を読みながら、そのページの余白に、こんな書き込みをした。

意味をとると、こうなる。「n が3以上の自然数のとき、xⁿ＋yⁿ＝zⁿ をみたす自然数 x, y, z は存在しない。私はこのことの、まことに驚くべき証明を見つけた。しかし、この余白はそれを書くには狭すぎる」。自然数は 1, 2, 3, … と続く数のこと、xⁿ は x を n 回掛けた数だね。

そう。n＝4 でも、5 でも、100 でも、どんなに大きな n でも1組もない、というのがフェルマーの主張だ。ところが、「驚くべき証明」はどこにも残っていなかった。その後、世界中の数学者が挑んで、最後に証明が完成したのは 1995年。イギリスの数学者アンドリュー・ワイルズによるもので、書き込みから358年かかった。

その通り。1990年代の初めには、コンピュータで n が400万までの場合は確かめられていた。それでも、n は限りなく大きくなれるし、x, y, z も限りなく大きくなれる。「ない」と言い切るには、無限個の場合を一度にまとめて扱う証明が要る。この旅では、その証明への道をたどっていく。最初に、旅の地図を渡しておこう。

前半の STAGE1〜4 では、フェルマー自身や19世紀の数学者が考えた方法を、中学の数学で実際に証明しながらたどる。後半の STAGE5〜9 では、楕円曲線とモジュラー形式という、一見フェルマーの式とは無関係な2つの世界が登場して、その2つの間にかかる橋が決め手になる。後半の証明そのものは大学院で何年も学ぶ内容だから、全部を追うことはしない。そのかわり、筋道をきちんと説明して、筋道を支えている不思議な一致を、自分の手で計算して確かめる。これを旅の約束にしよう。

形の違うものも無数にある。たとえば 5, 12, 13 や 8, 15, 17。今日の目標は、こういう整数の直角三角形を、すべて作り出す公式を手に入れることだ。ここでひとつ、見方を変えよう。a²＋b²＝c² の両辺を c² で割ってごらん。

そう。分数で書ける数を有理数という。3＝3/1 のように整数も有理数の仲間だ。そして、x 座標も y 座標も有理数である点を有理点と呼ぶ。いま、整数の直角三角形 (a, b, c) から、半径1の円の上の有理点 (a/c, b/c) が1つ作れた。逆に、円の上の有理点 (p/r, q/r)（分母をそろえて r にしておく）があれば、両辺に r² を掛けて p²＋q²＝r²。整数の直角三角形に戻る。

その通り。ここからは円の上で考えよう。半径1の円を単位円と呼ぶことにする。単位円の上の点はほとんどが有理点ではない。たとえば x＝1/2 の点はどうかな？

手がかりになる有理点が1つあれば十分なんだ。単位円の上には、間違いなく有理点がある。(−1, 0) だ。この点から、傾き t の直線を引く。直線は円ともう1か所で交わる。t が有理数なら、その交わる点は必ず有理点になる。確かめてみよう。点 (−1, 0) を通る傾き t の直線の式は書けるかな？

x＝−1 が答えの1つだということは、もう分かっているね。1 を左に移して x²−1 を因数分解してごらん。(x＋1) でくくれるはずだよ。

それが「必ず有理点になる」理由だ。t にいろいろな有理数を入れてみよう。t＝1/2 なら？

t＝m/n（m と n は自然数）と書いて、分母と分子に n² を掛けると、x＝(n²−m²)/(n²＋m²)、y＝2mn/(n²＋m²) になる。分母をはらうと、整数の直角三角形の公式ができあがる。

いい質問だね。円の上の有理点 (p, q) が1つ与えられたとする（(−1, 0) 以外）。(−1, 0) とその点を結ぶ直線の傾きは、縦の差÷横の差で q/(p＋1)。分数どうしの割り算だから、これも有理数だ。つまり、どの有理点も、ある有理数の傾き t から出てくる。取りこぼしはない。

そう。公式そのものは、紀元前300年ごろのユークリッドの『原論』にもう出てくる。そしてディオファントスの『算術』には「与えられた平方数を、2つの平方数の和に分けよ」という問題がある。フェルマーが例の書き込みをしたのは、まさにこの問題の横の余白だったんだ。2つの平方数には分けられる。では、立方数（3乗の数）を2つの立方数に分けられるか、と考えたんだね。

言い換えまではうまくいく。フェルマーの主張は「曲線 xⁿ＋yⁿ＝1（n≧3）の上には、(1, 0) や (0, 1) のように座標に0を含む点のほかに、有理点がない」と言い直せる。けれど、円で使った直線の方法はここで止まってしまう。円は2次の式だから、直線とは最大2か所でしか交わらない。1つが分かっている有理点なら、残りの1つも有理点になった。3次の曲線と直線は最大3か所で交わるから、1つ分かっていても、残りが2つある。この2つは、有理数になるとは限らないんだ。

その落差がこの問題の不思議さなんだ。次のステージでは、フェルマー自身が残した、ただ1つの証明を読む。n＝4 の場合だ。今日作った直角三角形の公式が、そこで道具として活躍する。